Kui viibite lauluväljakul ning naudite ühislaulu ja ühistoimimist, siis vaevalt mõtlete matemaatikale. Või ei – te ju arutlete, kui palju rahvast on kokku tulnud, kui kaua on kontsert kestnud ja kui pikad on tualetijärjekorrad. Ometi viibite te ainulaadses ja paljusid matemaatilisi tõekspidamisi kinnitavas keskkonnas, seda omakorda kujundades.

Igaüks, kes püüdis pühapäeval lauluväljakul ringi liikuda, võis tõdeda, et ühest punktist teise jõudmiseks ei ole kõige targem kulgeda lühimat teed pidi. Eriti said seda omal nahal tunda koorilauljad, kes laululava kaare all edasi-tagasi asetudes seda kas täitsid või tühjendasid.

Suure rahvahulga liikumist on matemaatiliselt keeruline, kuid ometi üldjoontes võimalik seletada mitmete nn juhusliku ekslemise teooriatega. Analoogi võib leida liikuvas vedelikus asuvate osakeste kulgemises. Vedeliku voolamine ei ole enamjaolt ühtlane, vaid turbulentne. Turbulents on miskipärast muutunud moesõnaks, millega püü-takse tähistada elus ette tulevat kirjeldamatut olukorda. Vedeliku turbulents on küll keeruline, ent ometi üldjoontes matemaatiliselt kirjeldatav. See on olukord, kus üksik osake liigub üsna kaootiliselt, ent siiski seaduspärasuse järgi.

Lévy lend lauluväljakul

Rahvamassis olles tekib oluline ülesanne: kuidas pääseda läbi kitsast avast, siin-seal tekkivast pudelikaelast. Lahendus on lihtne: tuleb hoiduda mitte keskele, vaid äärtesse. Voolamine justkui imeks ääreosakesed pudelikaelast kiiremini läbi kui keskmised. See kehtib ka rahvarohkes metroojaamas rongi uksest sisse pääsemise või hädaolukorras ruumi uksest välja pääsemise puhul. Keskmised koju tulevad, ent kõige hiljem.

Füüsikast on tuntud osakese liikumine, kus paljud rännakud on lühikesed, mõned üksikud aga pikemad. Selle matemaatiline esitus kannab Lévy lennu nime ja erineb vedelikus toimuvast Browni liikumisest just vahepealsete pikkade hüpete poolest. Seda liikumist täheldatakse vedelike turbulentsis ja kaugete taevakehade liikumises, aga ka näiteks toitu otsivate albatrosside lennus. Toit ei jaotu looduses ühtlaselt. Bostoni ülikooli teadlane Gandhimonah Viswanathan ja ta kolleegid leidsid küm-mekonna aasta eest, et nii albatrossid, põhjapõdrad, kimalased kui ka mullaamööbid liiguvad sama mustri järgi. Enamgi veel, samalaadne liikumine on omane ka kaluritele ning möödunud aasta juunis avaldas ajakiri Nature Bostonis asuva North-easterni ülikooli teadlase Marta C. Gonzálese ja tema kolleegide artikli, milles näidatakse, et ka mobiiltelefoni kasutajad liiguvad ringi sama mustri kohaselt.

Toit, tuttavad ja muu oluline ei jaotu ka lauluväljakul ühtlaselt ning nõnda tegime meiegi laulupeo ajal Lévy lendu. Palju lühikest sagimist ja siis mõned pikad hüpped.

Küllap saame veel kaua kuulda arvamusi laupäevase laulu- ja tantsupeo rongkäigu kohta. Õieti selle hilinemise kohta, mis lõpuks sai võrdseks pooleteise tunniga. Kuid küsigem: kas poolteist tundi on vähe või palju? See moodustab plaanitud viietunnisest koguajast 30 protsenti, mis vastab umbes kõige vägevamate liiklusummikute sellekohasele arvule. Liiklusummikutest on teada, et neid ei tekita mitte niivõrd tee väike läbilaskvus, kuivõrd see, et liiklus muutub pärast ühe läve ületamist mittesujuvaks, täpsemalt öeldes mittelineaarseks. Sellele on leitud vähemalt kaks põhjendust. Esiteks liiklusülbikud, kes püüavad end usinasti kehtestada. Ja teiseks liikluse ülekorraldamine.

Ülekorraldamine tekitab juhtides tunde, et nende eest hoolitsetakse, ja siis saab kenasti kulgeda. Kui aga korraldamist on vähem, muutuvad ka juhid üksteise vastu tähelepanelikumaks.

Ei tea, kumb faktor just rongkäigu kulgu mõjutas. Ohtrate seisakute tõttu ei olnud see igatahes sujuv. Selge on, et suurte rahvavoogude suunamisel on suureks abiks matemaatika. Selliste olukordade käsitlemiseks on piisavalt arvutimudeleid, mille järgi saaks juba ette ära öelda, kui suur võib tulla ühe või teise rahvavoo liikumisel tekkiv viga, ning seda siis juba sündmust kavandades arvesse võtta.

1960. aastal valminud Alar Kotli ja Heino Sepmanni konnakarbikujulise laulukaare alt laotub heli laiali, nii et pole asigi. Laulukaare tagaosast kuni mäel olevate pärnadeni on umbes 200 meetrit. Selle vahemaa läbimiseks kulub laulul 0,6 sekundit.

Kui heli peegeldub, siis ei tule see meile tagasi endisena. Osa on neeldunud. Ja kindlasti ei neeldu kõik helisagedused võrdselt. Isegi ime, et metsast üldse midagi tagasi tuleb. Aga see juhtub, sest helilained on nõnda pikad. Inimkõrv kuuleb helisid, mille sagedus on 16–20 000 hertsi. Kõige tundlikum on kõrv umbes 3500 hertsile. Siis võnguvad õhumolekulid vastu meie kõrvatrummikilet 3500 korda sekundis. Sellise võnkumise toob meieni laine, mille pikkus on

10 sentimeetrit. See peegeldub puudelt hästi, kõrgem heli kipub rohkem neelduma. Sama kehtib ka õhu kohta. Mida kõrgem on heli, seda enam see neeldub. Kaja kajab alati madalamalt.

Heli kiirus õhus sõltub küll temperatuurist, kuid nii vähe, et kui ka laulupidu algaks nullkraadises temperatuuris ja lõpeks 30-kraadises kuumuses, leviks laul kuulajani vaid 7% kiiremini.

Heli lauljate selja tagant tagasi peegeldada ja sealt uuesti kuulajate poole suunata tunduks justkui lihtne. Kuid miks iga kõlakoda ei kõla? Kõlakoja kõla sõltub nii materjalist, millest peegeldav pind on valmistatud, kui ka selle kujust. Kuidagi alateadlikult, katse ja eksituse meetodil, on juba enne kõrgema matemaatika olemasolu saadud jälile põhilistele akustilistele seadustele, mille järgi saab ehitada kõlakoda nõnda, et peegelduvad helid üksteist ei segaks. Meie lauluväljaku kõlakoja akustilisel ekraanil on ainulaadne hüperboolse paraboloidi pinnakuju, mille headuse tõestasid ehitusteadlane Heinrich Laul ja arhitekt Helmut Oruvee mudelit katsetades.

Lauluväljak on tegelikult justkui peeglite park. Kui heli satub tahkele pinnale, siis peegeldub see kuulaja kõrva koos heliga, mis tuleb otse esinejalt. Kivisein, klaas, puit ja krohv peegeldavad heli üsna väheste kadudega. Nõnda tekib ruumis leviv heli tegelikult tuhandete peegeldunud ja otse levinud helide koosmõjul. Kontserdisaalis neelavad heli tõhusalt vaid polsterdatud toolid ja kuulajad. Lauluväljakul toimivad seintena ka selle äärde istutatud pärnad, mis pole sinna pandud juhuslikult, vaid akustilistel kaalutlustel. Muid peegeldajaid pole peaaegu ollagi. See võimaldabki paigutada väljakule laiali valjuhääldeid, nii et neist tulev heli ei hakkaks segama otse laulukaare alt tulevat heli. Järelkõla on seal minimaalne.

Helide virvarriga peab hakkama saama kuulaja kuulmisaparaat. Kuna inimesel on kaks kõr-va, siis suudab ta heli lähtesuuna kindlaks teha. Kuidas see täpselt käib, pole teada, kuid katseks püüdke heli lokaliseerida, kattes ühe kõrva käega. Ometi on meie kõrvade vahekaugus vaid paarkümmend sentimeetrit, mitte mõni kilomeeter nagu taevatähti lokaliseerivatel teleskoopidel. Ja lokaliseerimisega saab inimene hakkama ka siis, kui heliallikast ehk muusikust lähtuva heli tugevus moodustab peegelduva heli kogutugevusest vaid tühise osa, võib-olla kõigest 5%.

See ime võimaldabki meil lauluväljakul laule nautida. Tavaliselt kuulame muusikat või kõnet, mis koosneb lühikestest ajas muutuvatest silpidest või nootidest. Meie aju suudab selle muutuva jada kaudu välja peilida, kust heli tuleb.